高中數(shù)學必修三網(wǎng)課

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高考數(shù)學復習：平面向量解題要點與實際應用

我給學生提出了“三大線索，兩大技巧”的復習重點。三大線索即：向量形式、坐標形式、幾何意義。兩大技巧為：抓“基底”、升次數(shù)。

天津一中賈魯津

平面向量這一章內容本身兼有代數(shù)、幾何雙重特點，而又完全有別于學生多年數(shù)學學習中所接觸到的代數(shù)運算和幾何證明，因此，多數(shù)同學對本章問題感到既抓不住重點，也找不到規(guī)律，因此很困惑，甚者發(fā)憷。比較近幾年數(shù)學高考試卷中的平面向量題目，不難發(fā)現(xiàn)其中的幾個突出變化：1相關知識點覆蓋面越越全；2與其他章節(jié)知識的交匯越越多樣，也越越深入；3題目所在檔次有所提高，拿到相關分數(shù)的難度越越大。如此，就增加了學生備考的難度。在順利完成基本概念和基本運算復習的基礎上，我給學生提出了“三大線索，兩大技巧”的復習重點。三大線索即：向量形式、坐標形式、幾何意義。兩大技巧為：抓“基底”、升次數(shù)。下面就以向量與其他章節(jié)的綜合為主線，和同學們一起回顧一下主要內容及其應用。

一、基本計算類

1已知-＝(1，2)，-＝(-3，2)，若(k-+-)⊥(--3-)則k＝_______，

若(k-+-)//(--3-)，則k＝____

答案：19，--。公式基本應用，無需解釋。

2已知向量-=(co，)，向量-=(2-，-1)則|3---|的最大值為解：(3-b)2=(3coθ-2-,3θ+1)(3coθ-2-,3θ+1)

=(3coθ-2-)2+(3θ+1)2

=9co2θ-12-coθ+8+92θ+1+6θ

=18+6θ-12-coθ

≤18+-=18+18=36

∴|3-b|mx=6

點評：本題雖然是道小的綜合題，但是向量中的升次技巧還是十分突出的，“見模平方”已是很多老師介紹給同學的一大法寶。不過升次的另外一種途徑，就是同時點乘向量。

二、向量與三角知識綜合：

3設-=(1+co，)，-=(1-co，)，-=(1，0)，∈(0，)，∈(，2)-，-的夾角為θ1，-，-的夾角為θ2，且θ1-θ2=-，求-的值。

解：-·=1+co

-·=1-co

|-|2=2+2co=4co2-|-|2=2-2co=42-|-|=1

∵-∈(0，-)-∈(-，)

∴|-|=2co-|-|=2-

又-·=|-||-|coθ1

∴1+co=2co-coθ1

2co2-=2co-·coθ1

∴coθ1=co-∴θ1=-

同理-·=|-||-|coθ2

∴-=coθ2

∴co(---)=coθ2

∴---=θ2

∴θ1-θ2=-+-=-

∴-=--

∴-=--

三、向量與函數(shù)、不等式知識綜合：

4已知平面向量-=(-，1)，-=(-，-)，若存在不同時為零的實數(shù)k，，使-=-+(2-3)-，-=-k-+-，且-⊥-(1)試求函數(shù)關系式k=f()；(2)求使f()>0的的取值范圍

解：(1)由題知-·=0，|-|2=4|-|2=1

-·=-k-2+-·+(3-3)-2-k(2-3)-·=-4k+(2-3)=0

∴k=-(3-3)即f()=-(3-3)

(2)f’()=-(32-3)=-(2-1)

-

令f()=0∴1=02=--3=-

由圖可知

∈(--，0)∪(-,+∞)

四、用向量的知識解決三角形四邊形中的問題。(與平面幾何的交匯是近幾年考試的熱點)

溫馨提示：據(jù)以下問題，同學們可以歸納一些常見結論，如與內心、外心、垂心、重心、中線、角分線、高線、共線、垂直等相關的結論。

5O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足-=-+(-+-)·∈(0,+∞)。則P的軌跡一定通過△ABC的()

A外心B內心

C重心D垂心

答案：B

6設平面內有四個互異的點A，B，C，D，已知(---)與(-+--2-)的內積等于零，則△ABC的形狀為()

(A)直角三角形

(B)等腰三角形

(C)等腰直角三角形

(D)等邊三角形

答案：B

解：-+--2-=(---)+(---)=-+-

又---=-

∴-·（-+-)=0

∴等腰三角形

7已知-A=-，-C=-，-C=-且滿足(---)·=0(>0)，則△ABC為()

A等邊三角形B等腰三角形

C直角三角形D不確定

解：式子的含義就是角分線與高線合一。故選B。

8若平面四邊形ABCD滿足-+-=-，(---)·=0，則該四邊形一定是

A直角梯形B矩形

C菱形D正方形

答案為C。第一個條件告訴我們這是平行四邊形，而第二個條件則說明對角線互相垂直。

五、向量與解析幾何的綜合：

9設F為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若-+-+-=0，

解：由-+-+-=0可知，F(xiàn)為三角形ABC的重心，故xg=-,而|-|+|-|+|-|=xA+xB+xC+3-故原式值為6。

10已知A、B、D三點不在一條直線上，且A(-2，0)，B(2，0)|-|=2，-=-(-+-)求E點的軌跡方程；

解：(1)設E(x，y)，-=-+-，則四邊形ABCD為平行四邊形，而-=-(-+-)E為AC的中點

∴OE為△ABD的中位線

∴|-|=-|-|=1

∴E點的軌跡方程是：x2+y2=1(y≠0)

點評：本題正是關注了向量幾何意義得以實現(xiàn)運算簡化。

11設橢圓方程為x2+-=1，過點M(0，1)的直線交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足-=-(-+-)，點N的坐標為(-，-)，當繞點M旋轉時，求：

(1)動點P的軌跡方程；

(2)|-|的最小值與最大值

(1)解：設點P的坐標為(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在橢圓上，所以x12+-=1④x22+-=1⑤

④—⑤得x12-x22+-(y12-y22)=0，所以(x1-x2)(x1+x2)+-(y1-y2)(y1+y2)=0

當x1≠x2時，有x1+x2+-(y1+y2)·=0⑥

-

將⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧

當x1=x2時，點A、B的坐標為(0，2)、(0，-2)，這時點P的坐標為(0，0)

也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為-+-=1

(2)解：由點P的軌跡方程知x2≤-，即--≤x≤-。

所以|-|2=(x--)2+(y--)2=(x--)2+--4x2=-3(x+-)2+-……10分

故當x=-，|-|取得最小值，最小值為-；當x=--時，|-|取得最大值，

最大值為-。

點評：本題突出向量的坐標運算與解析幾何求軌跡方法的結合，以及二次函數(shù)求最值問題。

12在△ABC中，-=-，-=-又E點在BC邊上，且滿足3-=2-，以A，B為焦點的雙曲線過C,E兩點，(1)求此雙曲線方程，(2)設P是此雙曲線上任意一點，過A點作APB的平分線的垂線，垂足為M，求M點軌跡方程。

解：本題只解第一問，在這里向量的應用是很有新意的。

(1)以線段AB中點O為原點，直線AB為x軸建立直角坐標系，設A(-1,0)B(1,0)作CO⊥AB于D

由已知-=-

∴|-|coA=-

∴|-|=-

又同理-=-

∴|-|=-

設雙曲線---=1(>0，b>0)C(--，)E(x1，y1)

∵3-=2-

-

E，C在雙曲線上

-

∴雙曲線為7x2--y2=1

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