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高三數學復習：求數列通項公式的常用方法

在高考中數列部分的考查既是重點又是難點，不論是選擇題或填空題中對基礎知識的檢驗，還是壓軸題中與其他章節知識的綜合，抓住數列的通項公式通常是解題的關鍵。

求數列通項公式常用以下幾種方法：

一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。

例：在數列{}中，若1=1，+1=+2(1)，求該數列的通項公式。

解：由+1=+2(1)及已知可推出數列{}為1=1，d=2的等差數列。所以=2-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。

二、已知數列的前項和，用公式

S1 (=1)

S-S-1 (2)

例：已知數列{}的前項和S=2-9，第k項滿足5

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

解：∵=S-S-1=2-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)

此類題在解時要注意考慮=1的情況。

三、已知與S的關系時，通常用轉化的方法，先求出S與的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。

例：已知數列{}的前項和S滿足=SS-1(2)，且1=-，求數列{}的通項公式。

解：∵=SS-1(2)，而=S-S-1，SS-1=S-S-1，兩邊同除以SS-1，得---=-1(2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-= -，S= -，

再用(二)的方法：當2時，=S-S-1=-，當=1時不適合此式，所以，

- (=1)

- (2)

四、用累加、累積的方法求通項公式

對于題中給出與+1、-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。

例：設數列{}是首項為1的正項數列，且滿足(+1)+12-2++1=0，求數列{}的通項公式

解：∵(+1)+12-2++1=0，可分解為[(+1)+1-](+1+)=0

又∵{}是首項為1的正項數列，∴+1+ ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，

又∵1=1，∴=-(2)，∵=1也成立，∴=-(∈N*)

五、用構造數列方法求通項公式

題目中若給出的是遞推關系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有 (或S)的式子，使其成為等比或等差數列，從而求出(或S)與的關系，這是近一、二年的高考熱點，因此既是重點也是難點。

例：已知數列{}中，1＝2，+1=(--1)(+2)，=1,2,3,……

(1)求{}通項公式 (2)略

解：由+1=(--1)(+2)得到+1--＝ (--1)(--)

∴{--}是首項為1--，公比為--1的等比數列。

由1＝2得--=(--1)-1(2--) ，于是=(--1)-1(2--)+-

又例：在數列{}中，1=2，+1=4-3+1(∈N*)，證明數列{-}是等比數列。

證明：本題即證+1-(+1)=q(-) (q為非0常數)

由+1=4-3+1，可變形為+1-(+1)=4(-)，又∵1-1=1，

所以數列{-}是首項為1，公比為4的等比數列。

若將此問改為求的通項公式，則仍可以通過求出{-}的通項公式，再轉化到的通項公式上。

又例：設數列{}的首項1∈(0,1)，=-，=2，3，4……(1)求{}通項公式。(2)略

解：由=-，=2,3,4,……，整理為1-=--(1--1)，又1-1≠0，所以{1-}是首項為1-1，公比為--的等比數列，得=1-(1-1)(--)-1

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