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關于力學的有趣小故事，幫助理解力學

家庭主婦們經常抱怨：好端端的土豆，一削皮就露出里邊褐黑色的一塊塊壞斑，待到把這些壞區全削去，一顆土豆便所剩甚小。唉！

真可惜。奇怪的是，買土豆時任你怎么挑選，也總是避免不了有壞斑。這種倒霉的“內傷”在蘋果、梨等水果中也時有遇到。

心細的學過力學的人，不難回答這個問題。原來毛病出在包裝運輸中。在裝車運輸土豆時人們總想裝得多以提高效率，殊不知裝車時的碰撞卻給土豆造成許多內傷。裝得厚了，壓在底層的土豆可就倒了大霉，給壓壞了。蘋果、梨等水果運輸時多用箱子或簍子，每只箱簍的高度較小，所以壓壞的要少些，但要是車輛駛過？顛簸不平的路面，由于振動加大了壓力，處在箱底的水果　還是難免遭殃。

主婦們又要問了，壓壞的土豆，裂的、破的，一眼就能看出來，可又怎樣解釋表面上是好的內部卻受傷的現象呢？

土豆和水果的“內傷”問題正好是一個典型的接觸問題。

假定相互接觸的土豆為兩個半徑為R的彈性球，兩個球之間作用壓力為P.這時接觸處由于球的變形已不再是一點，而是一個半徑為a的圓，根據接觸問題的理論分析可以算出在球體內最大剪應力，而最大剪應力不在接觸面上卻在距接觸面，上述各式中α，β，γ都是常數。

土豆和水果等許多材料都可以近似看為在最大剪應力超過一定限度就產生破壞的材料。

上述公式表明最大剪應力不發生在表面而在深層。而且半徑和壓力愈大，深度也愈大。實際接觸物體形狀雖然各式各樣，但上述基本規律則是共同的， 這就是為什么土豆外表完好而內傷累累的原因。土豆裝運只要超過一定高度，總有一大層土豆難逃這種厄運， 每年由此而扔掉的土豆和水果以千噸計， 所以改善包裝和運輸條件才是拯救這批土豆的根本辦法。學一點接觸問題是很有必要的。

在日常生活中我們經常遇到與接觸問題有關的現象。

《三國演義》上有一回說到張翼德用柳條鞭笞督郵，可以想象那貪臟枉法的督郵被打得皮開肉綻。在《水滸》中，我們又看到梁山好漢落在敵人之手，不免要挨殺威棒。三國時候的張飛畢竟是直性子，打人只用柳條，柳條的直徑一般較小，所以引起督郵的傷也不過皮肉之苦而已。宋朝的衙役們可比張飛狡猾多了，棍棒直徑自比柳條大了許多倍，受棒者傷在深層，甚至傷筋斷骨，而皮膚表面卻完好無損。

到了法西斯的監獄里，發明了一種用橡皮包著鋼絲的刑具，外觀柔軟，半徑又比較大，抽在人身上既不傷筋動骨，外表又看不出異樣，但遭受到的內傷卻是痛徹骨髓的這恐怕是反動統治者挖空心思利用科學成果的巧思吧。

搟面，為了把面搟開，面的深部破壞了或者發生了永久變形，面才能搟開。面塊大就要用粗的搟，而搟餃子皮就必須用細搟仗了。這個道理用在壓路機上，你大概注意到壓路機的滾子有近一米多直徑吧，這就是希望它把路面的深層壓得結實。當然，除了半徑大外，壓路機還要重， 因為壓力P大了深部的應力也愈大。

在工程技術中，接觸問題的應用十分普遍。主要是如下三大類問題：第一類是接觸應力造成表面或深層的破裂會引起機器或工程破壞的事故， 如軸承、齒輪、滾珠等表面剝落。這時應用接觸問題的理論目的是為了要減少這種破裂以避免事故；第二類利用接觸應力進行加工，如軋鋼機的軋滾，壓力加工的沖頭與模具的設計，都要利用接觸問題理論結果使被加工物件易于變形而加工工具卻十分耐用；第三類問題是碰撞問題，車船飛機的碰撞可以看為一類特殊的接觸問題。例如高速飛機和空中的飛鳥相撞會引起嚴重的結構破壞而造成空難。

正由于接觸問題廣泛存在于工程技術中，所以它一直受到工程師與力學家的注意與深入研究。

歷史上最早研究并獲得重要進展的是德國人Hertz在取得的。他假定兩個彈性體在接觸點鄰近為兩個二次曲面，在外部正壓力下接觸面為橢圓。橢圓的形狀、接觸面的壓力分布，以及物體內應力分布都可以表為解析表達式。這個問題稱為彈性力學的Hertz問題。我們前面說的兩個球接觸問題就是它的特殊情形。

其實，近代提出的接觸問題更加復雜得多。各種不同形狀的物體和結構相接觸，考慮物體的彈塑性，蠕變及各種物理因素的變化，考慮接觸面間的摩擦力和滑動，考慮物體慣性的碰撞接觸問題等等不一而足。

接觸問題經過一百多年的研究，已經能近似解決許多實際問題了，但它仍然存在許多十分因難的問題尚待解決，對于比較復雜的問題人們往往利用大型計算機去求數值解。即使如此，由于計算量很大，仍然沒法很好的解決。舉例說，一個均勻的彈性球，從某一高度在重力作用下落到均勻彈性半空間上，它的彈跳高度如何？這個問題看來是非常簡單而又干凈的，但請試解一解，它仍然是力學界的難題。更不要說十分復雜結構的碰撞接觸問題了。

接觸問題之所以困難，是由于它實質上是一類非線性問題。我們知道經典彈性力學大部分是線性的，線性彈性問題的提法是在給定邊界上，應力或位移為已知的條件下求解一組彈性力學線性方程。而在接觸問題中，接觸邊界的應力位移是待求的，而邊界上的位移和應力以及邊界本身又依賴于問題在物體內部的應力與位移。這種困難問題，隨著工程技術的發展不斷提出新的挑戰，迫使人們去進行更深入的研究，它構成了彈性力學、結構力學和計算固體力學各個分支學科交叉研究的熱點課題，同時還吸引了不少數學家的注意。

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