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從一道函數題看高三數學學習法

高三數學與高一、高二有何區別？這是進入高三同學都很關心的。高三數學表面看是應對高考，其實，在這一過程中，始終都涉及各種能力的綜合培養與提高。

夯實基礎是高三數學學習的第一關，要把各數學分支的相關基礎知識、基本技能掌握好。由于高考是選拔性考試，有些試題的綜合性較強，對技能技巧要求較高，因此高三數學學習不僅是要掌握基礎，還要善于解答一些綜合性強的問題，這是第二關。

一道綜合題可以把多個知識點有機的結合起，因而解題環節多，解題過程長，思維強度大，細心程度高，哪兒出了一點問題都會功虧一簣。我們看一個例子。

例如：

已知奇函數f(x)在(-&f;，0)&cp;(0，+&f;)上有定義，且在(0，+&f;)上是增函數，f(1)=0；函數g(θ;)=2θ;+mcoθ;-2m，θ;&;[0，π/2]。若集合M={m|g(θ;)<0}，集合N={m|f[g(θ;)<0]}，求M&cp;N。

本題中N是f(x)的復合函數，且不知其具體的表達式，無法求出M與N的交集。當解題困難時，回到已知，因f(x)是奇函數且在(0，+&f;)上是增函數，故f(x)在(-&f;，0)上也是增函數。由f(1)=0知f(-1)=0，由數形結合可知，當f(x)<0時可得x<1或0<1。

&r4;N={m|f[g(θ;)]<0]}={m|g(θ;)<-1或0<1}，

&r4;M&cp;N={{m|g (θ;)<-1}。即2θ;+mcoθ;-2m+1<0，問題轉化為不等式co2θ;-mcoθ;+2m-2>0恒成立。

這是一個雙變量不等式，誰是主元？從條件看是m。但同學們最熟悉的是“反客為主”的解題思想：令=coθ;，則&;[0,1]，視為的二次函數，即：φ()=2-m+2m-2=(-m/2)2+2m-2-m2/4，&;[0,1]。這是“軸變區間定型”最值問題，分三種情況討論，解得M&cp;N={m|m>4-2 }。

若從主元m的角度考慮，就會想到用分離變量法解：2-m+2m-2>0 <=> m>(2-2)/(2-)，

令()=(2-2)/(2-)，則()=2+2/(-2)+4≤4－2 => m>4－2 。

本題集合只是一種符號語言，涉及主要知識點為函數、三角、不等式。

本題涉及主要數學思想方法有：

(1)數形結合思想

此題中有兩處用到這種方法，其一是由f (x)<0得x<1或0<1，從而得G(&T;)<-1或0<1；其二是求二次函數φ(T)在區間[0,1]的最值。

(2)轉化與化歸的思想

把不等式恒成立問題轉化為函數 (或不等式)在閉區間的最值(恒成立)問題是第一次轉化，本要求m的范圍，卻把m視為常數，轉化為為變量的二次函數(或分式函數)，“欲擒故縱”是第二次轉化。

本題涉及的技能技巧有：

(1)配方法。不要小瞧它，不少同學配方時經常出錯，要格外注意，尤其是對含參數的二次函數配方。

(2)把二次分式轉化為能利用重要不等式的恒等變形。

(3)函數最值的恒成立問題：若m>f(x)恒成立，且M=f(x)mx，則m>M。

(4)分離變量法。

思想方法和技能技巧是解題的明線，還有暗線。這就是每個人的學習方法、意志力和細心程度，而這往往不為同學所重視。同一個問題，水平相當的同學有的同學可以做出，有的同學做不出，或同一個問題對同一個人而言，在不同的情景、不同的心態、不同的解題欲望下就會有不同的結果。方法靠平時積累，意志力靠解題培養，也靠一個人的人生觀和價值觀的支持。就本題而言，不少同學剛看到題目覺得頭緒多，條件抽象，感到無從下手，意志薄弱者會放棄，而意志堅強者充滿自信，靜下認真分析會逐漸發現解法，即使不能完全解到底，也能解答部分。

細心是做好一件事的重要保證，對數學學習有特別意義。有些同學每次考試總免不了犯 “低級錯誤”，丟三落四，離開考場就后悔。每次都以“粗心”為托詞，總是改不了。其實“粗心”的背后有多種原因，有考試環境中的緊張心態，忙中出錯，有基礎知識不牢加上考試緊張造成的常識錯誤，還有一些是平時暴露出的問題沒有引起重視，考試時集中反映出等，解決的辦法是要認真對待每一次失誤，找出原因，制定切實的改正措施并落到實處，這樣考試中才能發揮實際水平。少一些遺憾，你的考試就成功了！

本題解答過程較長 (上述是簡寫)，如果轉化為二次函數解，要解三個不等式組，計算量大，稍有疏忽就會導致錯誤；若用分離變量法，對代數式恒等變形要求較高，且最后一步對抽象思維能力要求較高。這些環節中每步都不能有差錯，才能達到正確結果。

剛進入高三的同學會覺得有些綜合題“彎子太多”，有些知識遺忘，不能很快銜接起，一時不太適應，一旦適用就好了。倒是一些是平時學習比較刻苦，但靈活性不夠的同學隊綜合題會感到困難。不過這些同學不必自卑，萬丈高樓平地起，有堅實的基礎總能拾級而上，高考是選拔性考試，不必人人都得滿分。

由此可知，高三數學學習首先要重基礎，掌握基本公式、定理法則，并在解題實踐中學會靈活運用。在此前提下，注重思想方法的運用，提高分析和解決問題的能力，當知識和能力達到一定程度以后，成績的提高取決于細心程度和意志力。

這樣我們知道高三數學學習的狀況是：基礎知識和基本技能掌握情況反映數學水平高低，細心程度決定考試成績，意志磨礪貫穿學習始終。

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